Questão:
Normalização e não dimensionalização de uma equação de balanço de massa
ASK22
2016-04-07 14:31:02 UTC
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Gostaria de perguntar qual é a diferença (se houver) entre normalização e não-dimensionalização. Vou tentar explicar o que fiz até agora com uma equação com a qual gostaria de trabalhar e você pode fazer seus comentários sobre este exemplo específico. O balanço de massa é dado por: $$ \ frac {\ parcial C_ {i}} {\ parcial t} = - u_s \ frac {\ parcial C_ {i}} {\ parcial z} + \ rho_b \ sum_ {k = 1} ^ {N_ {reac}} \ nu_ {j, k} R_ {i, k} $$ Se escolhermos como valores característicos: $$ L_o, F_o, T_o, P_o, m_o $$$$ u_o = \ frac {F_o Rg T_o} {P_o L_o ^ 2} $$$$ C_o = \ frac {P_o} {Rg T_o} $$ comprimento, vazão molar, temperatura, pressão, massa de acordo e substituindo então obtemos: $$ \ frac {u_o C_o} {L_o} \ frac {\ parcial C ^ * _ {i}} {\ parcial t ^ *} = - \ frac {u_o C_o} {L_o} u_s ^ * \ frac {\ parcial C ^ * _ {i}} {\ parcial z ^ *} + \ frac {m_o} {L_o ^ 3} \ rho_b ^ * \ frac {F_o} {m_o} \ sum_ {k = 1} ^ {N_ {reac}} \ nu_ {j, k} R ^ * _ {i, k} $$ onde $ ^ * $ denota as variáveis ​​adimensionais (? normalizadas?). Depois de mais alguns cálculos, obtemos: $$ \ frac {\ partial C ^ * _ {i}} {\ partial t ^ *} = - u_s ^ * \ frac {\ partial C ^ * _ {i}} {\ partial z ^ *} + \ frac {F_o} {L_o ^ 2 u_o C_o} \ rho_b ^ * \ sum_ {k = 1} ^ {N_ {reac}} \ nu_ {j, k} R ^ * _ {i, k } $$ MAS $$ \ frac {F_o} {L_o ^ 2 u_o C_o} = \ frac {F_o} {L_o ^ 2 \ frac {F_o Rg T_o} {P_o L_o ^ 2} \ frac {P_o} {Rg T_o} } = 1 $$ Então, esta equação é normalizada? ou não dimensionalizado? Não deveria haver algum número Peclet / Reynolds etc para trabalhar? Se, por exemplo, eu tentar alterar as condições de entrada, então este número ($ \ frac {F_o} {L_o ^ 2 u_o C_o} $) ainda será igual a 1. Alguém pode apontar um livro ou site onde eu poderia ler entende mais sobre este assunto?

Obrigado desde já!

Não tenho certeza do que todas as suas unidades significam. primeira equação, o primeiro termo do lado direito parece difusão? e assim por diante.
O termo do lado esquerdo é acumulação, o primeiro termo (esquerdo) do lado direito é para [advection] (http://physics.stackexchange.com/questions/168218/what-is-the-exact-difference -entre-difusão-convecção-e-advecção) e o último termo (direito) no lado direito é para reação. Não há termo de difusão nesta equação. Também $ C = mol / m ^ 3 $, $ t = s $, $ z = m $, $ u = m / s $, $ \ rho_b = kg_ {cat} / m ^ 3 $, $ R_ {i, j} = mol / (kg_ {cat} s) $, $ F = mol / s $
Dois respostas:
Robin
2016-04-07 17:49:19 UTC
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Desculpe por não estar familiarizado com todas as suas variáveis. Se for um balanço de massa, como você disse, não será possível obter um número de Reynolds ou Péclet. Um número de Reynolds aparece na análise dimensional do equilíbrio de impulso (o número de Reynolds contém a viscosidade que se origina do tensor de tensão para fluidos newtonianos). Também não estou muito familiarizado com Péclet, mas como ele contém difusibilidade térmica, suponho que apareça na análise dimensional da equação de energia.

Do meu entendimento, a não-dimensionalização é um caso especial de normalização. Na análise dimensional, você normaliza uma variável usando um valor característico dessa variável (para receber equações com variáveis ​​sem unidade). A ideia por trás da análise dimensional é que os relacionamentos na física não devem depender de suas unidades de medida. Isso é usado para medir quantidades em múltiplos dos respectivos valores característicos escolhidos.

E desculpe, eu só poderia apontar para livros alemães sobre análise dimensional. Bons livros sobre mecânica dos fluidos geralmente também contêm uma introdução à análise dimensional. (Eu prefiro Schade, Strömungslehre, 2013, e-ISBN 978-3-11-029223-7.)

Eu acho que, referindo-se ao número de Reynolds, você está certo, mas há uma definição de Peclet para massa onde Pe = uL / ​​D (mas ainda não tenho difusividade, então também correto sobre Pe). No entanto, não deveria haver um número adimensional onde eu pudesse alterar este número apenas e representar graficamente, por exemplo, Ci vs {número adimensional} ??
@ASK22: Reformular sua equação usando o [derivado do material] (https://en.wikipedia.org/wiki/Material_derivative) produz $ DC_i / Dt = \ rho \ sum_k \ nu_ {j, k} R_ {i, k} $. A declaração dessa equação é bastante simples: a mudança na concentração depende linearmente da densidade e da taxa de reação. Você tem 4 variáveis ​​($ C_i $, $ t $, $ \ rho $, $ R_ {i, k} $) e 4 unidades básicas (mol, m, s, kg). Não há grau de liberdade sobrando para uma função aqui. (Suponho que $ \ nu $ são os coeficientes estequiométricos, então eles recebem apenas números.)
Acho que normalizar é um caso especial de não-dimensionalização. Veja a resposta abaixo.
@sturgman Concordo que "normalização" está faltando uma definição aqui. Como falante não nativo, traduzi para o alemão "normieren", o que significa escalar com um valor normal. Por seu comentário, as quantidades sem unidade podem ser dimensionadas (e normalizadas), mas não podem ser não dimensionais (uma vez que não têm dimensão física ou unidade básica). Portanto, para mim, normalizar (= "scaling plus") parece a operação mais geral, pois é aplicável a uma gama mais ampla de problemas.
Salomon Turgman
2016-05-25 20:03:15 UTC
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Quando você deseja trabalhar com variáveis ​​não dimensionais, deve também observar o limite e as condições iniciais do problema. Dessa forma, você pode verificar se os grupos adimensionais aparecem nas condições de contorno também.

Ou seja, fazer uma equação não dimensional significa substituir variáveis ​​dimensionais como $ C $ por não dimensionais como $ \ Theta = \ frac {C} {C_0} $. Agora, ao fazer a equação adimensional, você pode escolher sua quantidade $ C_0 $ como qualquer coisa, desde que tenha as mesmas unidades de $ C $. Há muitas maneiras de tornar uma equação não dimensional.

Quando você normaliza ou dimensiona uma equação (estou assumindo que escalar no meu vocabulário é o que você quer dizer), você escolhe $ C_0 $ para que o novo não a variável -dimensional tem um domínio de 0 a 1. Isso geralmente é realizado em problemas de transporte de massa também subtraindo por um valor de referência: $ \ Theta = \ frac {C-C_R} {C_0-C_R} $. Você decide sobre as variáveis ​​$ C_0 $ e $ C_R $ de modo que sua nova variável $ \ Theta $ permaneça em um intervalo $ 0 \ leq \ Theta \ leq 1 $.

Escalar (ou normalizar) tem a vantagem que é mais provável que reduza o número de parâmetros em seu problema. Além disso, tem a vantagem de tornar seus derivados também escalados (esperançosamente, e com algum cuidado). Isso significa que seus derivados também terão ordem de magnitude um. Se isso for realizado (às vezes não é trivial), quaisquer grupos adimensionais podem ser sondados para ver se são muito maiores ou muito menores do que um para verificar sua importância para o problema.

Uma boa fonte de informações sobre técnicas não dimensionais e de escala para resolver problemas de transporte é Analysis of Transport Phenomena de Deen.



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