Editar: parece haver uma maneira muito mais fácil que esqueci, que vou explicar. Minha primeira resposta é mantida abaixo para referência.

Sua montagem consiste em um pequeno setor subtraído de um setor maior, conforme mostrado abaixo:

Você calcula o momento de inércia do setor sobre o eixo horizontal da seguinte maneira:

$$ I = \ frac {R ^ 4} {24} (3 \ phi-3sin ( \ phi) -2sin (\ phi) sin ^ 2 (\ frac {\ phi} {2})) $$

Então você terá:

$$ I_ {xx } = 2 (I_ {out} -I_ {in}) $$

Resposta antiga:

Vai exigir algum esforço, mas pode ser feito analiticamente:

Você primeiro calcula o momento de inércia do anel completo com:

$$ I_ {ann} = \ frac {\ pi} {4} (R ^ 4-r ^ 4) $$

Então você subtrai duas vezes o momento de inércia, $ I_ {rec} $, do retângulo lxb calculado com $ \ frac {lb ^ 3} {12} $ e o teorema do eixo paralelo.

Agora você subtraiu a parte hachurada em vermelho que não deveria ser, mas ainda não o verde parte, que deveria ser, então vamos corrigir isso rapidamente adicionando o momento vermelho duas vezes e subtraindo o momento verde duas vezes.

T A imagem abaixo explica como calcular o momento de inércia dos setores em torno da linha central:

$$ I_ {sect} = \ frac {r ^ 4} {8} (\ phi_i-sin (\ phi_i) + 2sin (\ phi_i) sin ^ 2 (\ frac {\ phi_i} {2})) $$

$ \ phi_i $ é medido em radianos.

Então, no final você tem:

$$ I_ {xx} = I_ {ann} -2 (I_ {rec} + I_ {sect -verde} -I_ {sect-red}) $$

muito perto de 1E-3 em ^ 4

Mais precisamente: 997E-6 em ^ 4

Eu não usaria (não) nenhum dos outros algébricos propostas. É relativamente fácil escrever uma equação para a largura da face de corte em um deslocamento definido do centro:

Ro = raio externo = 0,3125 "

Ri = raio interno = 0,25"

G = gap = 0.375 "

largura ao longo do círculo externo (se ele está realmente lá ou não) em y do centro = 2 * sqrt (Ro ^ 2 - y ^ 2) por pitágoras

largura através do círculo interno = 2 * sqrt (Ri ^ 2 - y ^ 2)

largura de corte = max (0, largura externa-máxima (G, largura transversal interno)).

Isso é trivial (5 minutos) no Excel com uma linha calculando a largura de cada uma de (digamos) 500 fatias de -0,3125 "a 0,3125".

Na verdade, fiz isso em um sistema de álgebra de computador numérico para obter 997E-6, quando faço isso no Excel e 500 fatias, obtenho 996E-6.

Verificação manual - a olho nu, é semelhante a dois retângulos cada 0,0625 " de largura e 0,5 "de profundidade, o que teria I 1,3E-3, então provavelmente confio na minha resposta.

Supondo que você deseja o momento de inércia, " $ Ixx $ ", sobre o eixo horizontal, faça o seguinte:

Você descobre o "I" de um anel completo em torno do eixo xx primeiro e isso é feito calculando o "I" do grande círculo: R = 0,625 subtraído pelo "I" do pequeno disco interno: R = 0,5.

Agora você subtrai o "I" de duas partes que faltam na parte superior e inferior. Elas podem ser divididas em segmentos e pequenos triângulos em seus lados. pode-se precisar da ajuda do Matlab, Mathematica ou outras ferramentas.

Mas geralmente, para cada parte, você encontra seu "I" sobre seu próprio CG e, em seguida, adiciona-o à sua área vezes o quadrado da altura do CG a partir de eixo xx. Wolfram tem a equação para esses " $ y ^ - $ " s, de um segmento, bem como de sua área. Você pode pesquisar CG e área de um segmento de círculo.

Uma rotina semelhante pode ser aplicada para encontrar: $ Iyy $ .

Editar :

Conforme mencionado em outras respostas, outra forma de calcular Ixx é dois subtrair o I do segmento menor daquele do segmento maior.

$$ Iyy = R ^ 4/24 (3 \ theta -3sin \ theta -2sin \ theta sin ^ 2 (\ theta / 2) $$

Com base nesta equação, há uma calculadora online na qual você pode conectar primeiro o segmento grande e encontrar o seu Iy, depois o pequeno e subtrair os resultados para encontrar o I da sua seção. Finalmente, você precisa multijogá-lo por 2, porque você tem 2 lados. Ouvir é o link para a calculadora online, a parte inferior azul na parte superior da página liga / desliga a calculadora. propriedades geométricas do segmento de círculo

Você pode querer marque esta página, tem muitas calculadoras e formas!