Questão:
Modelos em escala de plumas térmicas
HCAI
2015-02-09 00:01:11 UTC
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Eu quero olhar para a nuvem de calor térmico de um humano no ar parado em uma sala. Então, eu tenho um tanque de água com uma serpentina / cilindro de aquecimento. Como calculo qual deve ser a produção de calor da minha bobina de aquecimento para imitar a de um humano ($ 100W $) no ar?

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Isso é baseado na similaridade dimensional entre água: ar, número de Reynolds e número de Reyleigh. O número de Rayleigh, que governa a flutuabilidade é dado por: $ \ dfrac {g \ beta} {\ nu \ alpha \ kappa} qx ^ 4 $, onde:

$ \ alpha = $ difusividade térmica $ \ beta = $ coeficiente de expansão térmica $ \ kappa = $ condutividade térmica $ \ nu = $ viscosidade cinemática $ x $ = distância da superfície aquecida

Mas eu realmente não entendo se o número de Rayleigh é o correto valor para tentar manter semelhante entre os dois cenários. Qualquer ajuda seria muito apreciada.

EDITAR:

Portanto, usando a fórmula Q * para obter semelhança entre as duas mídias

$ \ dfrac {Q_ {ar}} {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {ar}} = \ dfrac {Q_ {água}} {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {water}} $

e reorganizando para obter Q_water:

$ Q_ {water} = Q_ {air} \ dfrac {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {água}} {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {air}} $

Em seguida, substituindo em:

AIR: $ \ rho = 1,225kg / m ^ 3 $, $ C_p = 1,005kJ / kg \ , K $, $ T _ {\ infty} = 21 ^ {\ circ} C $, $ x = 0,1m $, $ Q_ {air} = 100W $.

ÁGUA: $ \ rho = 1000kg / m ^ 3 $, $ C_p = 4,19kJ / kg \, K $, $ T _ {\ infty} = 8 ^ {\ circ} C $, $ x = 0,1m $, $ Q_ {ar} =? W $ .

Eu recebo $ Q_ {water} \ simeq 1,2 \ times10 ^ 4W $ ... Mas isso parece muito alto. Isso pode estar certo?

Um responda:
#1
+8
Ben Trettel
2015-02-09 01:07:08 UTC
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As plumas térmicas foram estudadas extensivamente para aplicações de segurança contra incêndio. Freqüentemente, você sabe a taxa de liberação de calor $ Q $, mas pouco mais. Um grupo adimensional chamado $ Q ^ * $ (pronuncia-se "estrela Q") é usado em vez de parâmetros mais comuns como o número de Reynolds e o número de Rayleigh. Este parâmetro pode ser considerado como a força da fonte de calor a uma distância específica. Ele se correlaciona bem com plumas térmicas. Você pode derivar esse grupo sem dimensionar as equações de Navier-Stokes e definir grupos adimensionais iguais a 1 para definir o comprimento e a velocidade característicos. Para obter mais informações, consulte o artigo de Gunnar Heskestad sobre este grupo adimensional.

No caso da modelagem de fogo, geralmente as pessoas ignoram a semelhança do número de Prandtl e algumas outras coisas, por isso dizem que o adimensional distribuições de temperatura e velocidade são apenas funções de $ Q ^ * $.

Os parâmetros mais relevantes são:

$$ T ^ * \ equiv \ frac {T - T_ \ infty} {T_ \ infty} $$

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (gx) ^ {1/2} x ^ 2} $$

Para ser mais explícito, se você conhece a temperatura ($ T $) como uma função da altura ($ x $) acima do objeto quente, você pode encontrar $ T ^ * $ como uma função de $ Q ^ * $. $ Q ^ * $ é como uma coordenada espacial adimensional.

Falando estritamente, sua configuração não será exatamente semelhante porque sua bobina e um humano não são geometricamente semelhantes (e a distribuição do fluxo de calor na bobina provavelmente também não é semelhante). Em sua foto, suponho que o humano estaria deitado se qualquer semelhança geométrica razoável fosse desejada. O campo distante deve estar bem, e presumo que seja isso o que interessa a você [2].

Também não está exatamente claro em qual quantidade você está interessado. Presumi que você deseja obter a distribuição de temperatura na pluma, digamos, a uma altura $ x_1 $ acima, na realidade, que seria $ x_2 $ em seu modelo. Corrija-me se estiver errado.

Além disso, embora eu não faça experimentos, imaginei que sua bobina de aquecimento tem uma saída de $ W $, não fluxo de calor. Avise-me se estiver enganado e mudarei minha resposta.

Ignorar os outros parâmetros pode ou não ser válido no seu caso (parece ser adequado para segurança contra incêndio [1]), então farei a análise presumindo que não. Você pode pular o restante se quiser assumir que os dois parâmetros mencionados são tudo que você precisa.

Você pode obter o número de grupos necessários do teorema de Buckingham $ \ pi $.

Os parâmetros relevantes que identifiquei são $ T $ (temperatura na altura $ x $), $ x $, $ Q $, $ g $, $ \ alpha $, $ \ beta $, $ \ nu $, $ T_ \ infty $, $ \ rho $ e $ c_p $. O teorema $ \ pi $ de Buckingham sugere que haverá 6 grupos adimensionais aqui. (Supondo que não esteja faltando um parâmetro. Também preciso verificar se a matriz dimensional não é deficiente em classificação. Para obter mais detalhes sobre a análise dimensional, recomendo a leitura de Análise Dimensional e Teoria dos Modelos de Henry Langhaar .)

Então, os primeiros 5 grupos adimensionais são:

$$ T ^ * \ equiv \ frac {T - T_ \ infty} {T_ \ infty} $$

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (gx) ^ {1/2} x ^ 2} $$

$$ Pr \ equiv \ frac {\ nu} {\ alpha} $$

$$ Gr_x \ equiv \ frac {g \ beta (T - T_ \ infty) x ^ 3} {\ nu ^ 2} $$

$$ \ rho ^ * \ equiv \ beta (T - T_ \ infty) $$

Este quinto grupo é inspirado na aproximação de Boussinesq. Nessa aproximação, a diferença de densidade é modelada como uma diferença de temperatura. A similaridade neste parâmetro garante que seu campo de densidade seja semelhante.

Para o grupo restante, eu precisava obter um pouco de criatividade. A similaridade não exige que esse grupo assuma uma forma particular, mas é melhor ficar com parâmetros com significados físicos conhecidos (ou parâmetros que podem ser derivados de equações governantes, que geralmente têm significados físicos). Não consigo pensar em nada de bom de improviso, mas o seguinte funciona:

$$ \ Pi_6 \ equiv \ frac {g x} {c_p (T - T_ \ infty)} $$

Você precisa combinar todos eles para obter semelhanças. Deve ficar claro que combinar tudo isso será um desafio. Como eu disse, parece ser uma prática comum em segurança contra incêndio ignorar tudo, exceto $ T ^ * $ e $ Q ^ * $. Não sei se é porque os outros parâmetros não importam ou se é apenas por conveniência. Desculpe se esta não é a resposta que você esperava, mas como acontece com muitas coisas na engenharia, a resposta não é fácil.

[1] Lembrei-me mais tarde que a não dimensionalização das equações de Navier-Stokes sugere que $ Q ^ * $ é o único parâmetro na solução. Portanto, talvez $ T ^ * $ e $ Q ^ * $ sejam tudo de que você precisa, e a abordagem $ \ pi $ de Buckingham apenas fornece parâmetros supérfluos. Não me lembro de todos os detalhes da não-dimensionalização, mas se houver interesse, tenho certeza que poderia reproduzi-lo.

[2] O argumento teórico que apóia o uso de $ Q ^ * $ assume que a fonte de calor é uma fonte pontual. Portanto, só está correto de longe, porque a temperatura vai para o infinito no ponto de origem do modelo. Isso ocorre porque $ Q ^ * $ vai para o infinito em $ x = 0 $, como você pode ver em sua definição. Se você estiver desenvolvendo uma correlação, digamos $ T ^ * = a (Q ^ *) ^ b $ onde $ a $ e $ b $ são coeficientes, você pode contornar isso definindo uma "origem virtual", que permitirá que você para desenvolver uma correlação sem singularidades. Basicamente, em vez de usar $ x $, você define o uso $ x_ \ text {virtual} = x + x_ \ text {origin} $. Ou seja, $ Q ^ * $ agora está escrito:

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (g [x + x_ \ text {origin}] ) ^ {1/2} (x + x_ \ text {origin}) ^ 2} $$

Você escolhe $ x_ \ text {origin} $ de forma que sua correlação se ajuste melhor. É outro parâmetro na correlação. Se você conhece a temperatura da superfície, pode escolher $ x_ \ text {origin} $ de forma que a temperatura da superfície seja o que a correlação retorna em $ x = 0 $.

Além disso, como o argumento que apóia o uso de $ Q ^ * $ realmente faz a suposição de campo distante desde o início, não está claro que simplesmente usar uma origem virtual é suficiente para fazer uma correlação válida no campo próximo ( mesmo se você tiver semelhança geométrica). Não posso dizer se os outros fatores que identifiquei influenciam ou não.

+1 por trazer um exemplo de uma disciplina diferente e destacar suposições
Olá Ben, bem-vindo à engineering.SE! Esta é uma excelente resposta, ótimo trabalho!
Muito obrigado mesmo! Isso é exatamente o que eu esperava e muito mais. No entanto, tenho uma consulta relacionada ao valor a ser escolhido para x ao comparar modelos, pois é uma variável local em vez de uma quantidade global. Isso significa que devo tentar manter Q * igual em todos os pontos em ambos os domínios? Na verdade, estou interessado na pluma muito perto do cilindro ... Como isso muda a análise ou previsão? Mais uma vez, muito obrigado por uma resposta tão excelente!
@HCAI: Eu adicionei uma breve parte observando que $ Q ^ * $ toma o lugar da coordenada espacial, então é impossível fazer $ Q ^ * $ constante (isso significaria que há apenas uma localização espacial). Também adicionei uma nota de rodapé sobre o uso de $ Q ^ * $ no campo próximo. Deixe-me saber se você tem alguma dúvida. Além disso, quero destacar que os experimentalistas de segurança contra incêndio usam uma técnica chamada "modelagem de água salgada" que você pode achar relevante para isso; tente algumas pesquisas no Google para obter mais informações.
@BenTrettel Eu descobri que Q_water precisa ter cerca de 12000W, mas isso parece enorme. Isso pode estar certo ou eu não entendi completamente as fórmulas? (Eu adicionei meu trabalho na questão)
@HCAI Eu acredito que o truque para isso é que o cálculo $ Q ^ * $ usado assume um meio (gás) com expansividade volumétrica $ \ gamma = T ^ {- 1} $. Isso está longe para a água. Relacionado: há um motivo para você querer usar água em vez de ar para os experimentos em escala?
@Dan Oh, isso é um pouco inesperado! ... Existe uma solução alternativa? Se não, então estou um pouco preso eek! Eu queria usar água (ou outro líquido viscoso) porque é mais fácil usar as técnicas de visualização PIV, PTV e LDA.
Acabei de verificar e a derivação de $ Q ^ * $ usa a aproximação de Boussinesq, que não assume que $ \ beta $ assume a forma de um gás ideal. Pelo que eu sei, esse tipo de semelhança é usado em experimentos com água salgada (novamente, eu sugiro procurar documentos detalhando isso).
Quanto aos números, parece que você tem alguns erros matemáticos. Primeiro, a potência em $ x $ é $ 2,5 $, não $ 1 $, embora isso não mude seu resultado, pois você não está escalando nada no espaço. Eu recebo aquele $ Q_ \ text {water} \ approx 3 \ cdot 10 ^ 5 ~ \ text {W} $, que ainda é grande. Parece que você precisa reduzir o tamanho do seu modelo para obter um número razoável, por exemplo, usar $ x_ \ text {water} = 1 ~ \ text {cm} $ parece razoável (cerca de 1 kW).
@HCAI: Esqueci de incluí-lo para que você recebesse uma notificação da minha resposta.
@BenTrettel Obrigado, vejo o erro. O dilema que tenho é que estou realmente interessado na temperatura de campo próximo. Você acha que a pluma térmica / camada limite vai realmente se comportar de maneira semelhante entre os dois cenários? Minha outra opção é ignorar a similaridade da entrada de calor e focar na velocidade da pluma acima do aquecedor pela comparação de números de Reynolds. O que você acha?
@HCAI: Certamente haverá semelhanças. A dificuldade é que sem semelhança geométrica não fica claro como comparar locais, ou mesmo se uma comparação é válida. Não sei como responder a nenhuma das perguntas agora. Quanto a focar na velocidade da pluma acima do aquecedor, não tenho certeza do que você quer dizer. Você poderia explicar com mais detalhes?


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